Historische Einführung.- Zeittafel.- A. Elemente der Funktionentheorie.- 0. Komplexe Zahlen und stetige Funktionen.- § 1. Der Körper ? der komplexen Zahlen.- 1. Der Körper ?.- 2. ?-lineare und ?-lineare Abbildungen ???.- 3. Skalarprodukt und absoluter Betrag.- 4. Winkeltreue Abbildungen.- § 2. Topologische Grundbegriffe.- 1. Metrische Räume.- 2. Offene und abgeschlossene Mengen.- 3. Konvergente Folgen. Häufungspunkte.- 4. Historisches zum Konvergenzbegriff.- 5. Kompakte Mengen.- § 3. Konvergente Folgen komplexer Zahlen.- 1. Rechenregeln.- 2. Cauchysches Konvergenzkriterium. Charakterisierung kompakter Mengen in ?.- § 4. Konvergente und absolut konvergente Reihen.- 1. Konvergente Reihen komplexer Zahlen.- 2. Absolut konvergente Reihen. Majorantenkriterium.- 3. Umordnungssatz.- 4. Historisches zur absoluten Konvergenz.- 5. Bemerkungen zum Riemannschen Umordnungssatz.- 6. Reihenproduktsatz.- § 5. Stetige Funktionen.- 1. Stetigkeitsbegriff.- 2. Die ?-Algebra ?(X).- 3. Historisches zum Funktionsbegriff.- 4. Historisches zum Stetigkeitsbegriff.- § 6. Zusammenhängende Räume. Gebiete in ?.- 1. Lokal-konstante Funktionen. Zusammenhangsbegriff.- 2. Wege und Wegzusammenhang.- 3. Gebiete in ?.- 4. Zusammenhangskomponenten von Bereichen.- 5. Rand und Randabstand.- 1. Komplexe Differentialrechnung.- § 1. Komplex differenzierbare Funktionen.- 1. Komplexe Differenzierbarkeit.- 2. Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen.- 3. Historisches zu den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.- § 2. Komplexe und reelle Differenzierbarkeit.- 1. Charakterisierung komplex differenzierbarer Funktionen.- 2. Ein hinreichendes Kriterium für komplexe Differenzierbarkeit.- 3. Beispiele zu den Cauchy-Riemannschen Gleichungen.- 4.* Harmonische Funktionen.- § 3. Holomorphe Funktionen.- 1. Differentiationsregeln.- 2. Die ?-Algebra O(D).- 3. Charakterisierung lokal-konstanter Funktionen.- 4. Historisches zur Notation.- § 4. Partielle Differentiation nach x, y, z und
$$
\bar z
$$.- 1. Die partiellen Ableitungen $$
f_x, f_y, f_z, f_{\bar z}
$$.- 2. Beziehungen zwischen den Ableitungen ux, uy, ?x, ?y, $$
f_x, f_y, f_z, f_{\bar z}
$$.- 3. Die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung
$$
\frac{{\partial f}}
{{\partial z}} = 0
$$.- 4. Kalkül der Differentialoperatoren ? und
$$
\bar \partial
$$.- 2. Holomorphie und Winkeltreue. Biholomorphe Abbildungen.- § 1. Holomorphe Funktionen und Winkeltreue.- 1. Winkeltreue, Holomorphie und Antiholomorphie.- 2. Winkel- und Orien-tierungstreue, Holomorphie.- 3. Geometrische Deutung der Winkeltreue.- 4. Zwei Beispiele.- 5. Historisches zur Winkeltreue.- § 2. Biholomorphe Abbildungen.- 1. Komplexe 2×2 Matrizen und biholomorphe Abbildungen.- 2. Die bizholomorphe Cayleyabbildung ??IE,
$$
z \mapsto \frac{{z - i}}
{{z + i}}
$$.- 3. Bemerkungen zur Cayleyabbildung.- 4.* Bijektive holomorphe Abbildungen von ? und von IE auf die geschlitzte Ebene.- § 3. Automorphismen der oberen Halbebene und des Einheitskreises.- 1. Automorphismen von ?.- 2. Automorphismen von IE.- 3. Die Schreibweise
$$
\eta \frac{{z - w}}
{{\bar wz - 1}}
$$
für Automorphismen von IE.- 4. Homogenität von IE und ?.- 3. Konvergenzbegriffe der Funktionentheorie.- § 1. Gleichmäßige, lokal-gleichmäßige und kompakte Konvergenz.- 1. Gleichmäßige Konvergenz.- 2. Lokal-gleichmäßige Konvergenz.- 3. Kompakte Konvergenz.- 4. Historisches zur gleichmäßigen Konvergenz.- 5.* Kompakte und stetige Konvergenz.- § 2. Konvergenzkriterien.- 1. Cauchysches Konvergenzkriterium.- 2. Weierstraßsches Majorantenkriterium.- § 3. Normal konvergente Reihen.- 1. Normale Konvergenz.- 2. Diskussion der normalen Konvergenz.- 3. Historisches zur normalen Konvergenz.- 4. Potenzreihen.- § 1. Konvergenzkriterien.- 1. Abelsches Konvergenzlemma.- 2. Konvergenzradius.- 3. Formel von Cauchy-Hadamard.- 4. Quotientenkriterium.- 5. Historisches zu konvergenten Potenzreihen.- §2. Beispiele konvergenter Potenzreihen.- 1. Exponentialreihe und trigonometrische Reihen. Eulersche Formel.- 2. Logarithmische Reihe und Arcustangensreihe.- 3. Binomische Reihe.- 4.* Konvergenzverhalten auf dem Rand.- 5.* Abelscher Stetigkeitssatz.- § 3. Holomorphie von Potenzreihen.- 1. Formale gliedweise Differentiation und Integration.- 2. Holomorphie von Potenzreihen. Vertauschungssatz.- 3. Historisches zur gliedweisen Differentiation von Reihen.- 4. Beispiele holomorpher Funktionen.- § 4. Struktur der Algebra der konvergenten Potenzreihen.- 1. Ordnungsfunktion.- 2. Einheitensatz.- 3. Normalform konvergenter Potenzreihen.- 4. Bestimmung aller Ideale.- 5. Elementar-transzendente Funktionen.- § 1. Exponentialfunktion und trigonometrische Funktionen.- 1. Charakterisierung von exp z durch die Differentialgleichung.- 2. Additionstheorem der Exponentialfunktion.- 3. Bemerkungen zum Additionstheorem.- 4. Additionstheoreme für cos z und sin z.- 5. Historisches zu cos z und sin z.- 6. Hyperbolische Funktionen.- § 2. Epimorphiesatz für exp z und Folgerungen.- 1. Epimorphiesatz.- 2. Die Gleichung Kern(exp) = 2?i?.- 3. Periodizität von exp z.- 4. Wertevorrat, Nullstellen und Periodizität von cos z und sin z.- 5. Cotangens- und Tangensfunktion. Arcustangensreihe.- 6. Die Gleichung
$$
e^{i\frac{\pi }
{2}} = i
$$.- §3. Polarkoordinaten, Einheitswurzeln und natürliche Grenzen.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Einheitswurzeln.- 3. Singuläre Punkte und natürliche Grenzen.- 4. Historisches zu natürlichen Grenzen.- § 4. Logarithmusfunktionen.- 1. Definition und elementare Eigenschaften.- 2. Existenz von Logarithmusfunktionen.- 3. Die Eulersche Folge (1 + z/n)n.- 4. Hauptzweig des Logarithmus.- 5. Historisches zur Logarithmusfunktion im Komplexen.- § 5. Diskussion von Logarithmusfunktionen.- 1. Zu den Identitäten log(wz) = log w + log z und log(exp z) = z.- 2. Logarithmus und Arcustangens.- 3. Potenzfunktionen. Formel von Newton-Abel.- 4. Die Riemannsche ?-Funktion.- B. Cauchysche Funktionentheorie.- 6. Komplexe Integralrechnung.- § 0. Integration in reellen Intervallen.- 1. Integralbegriff. Rechenregeln und Standardabschätzung.- 2. Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung.- § 1. Wegintegrale in ?.- 1. Stetig und stückweise stetig differenzierbare Wege.- 2. Integration längs Wegen.- 3. Die Integrale
$$
\int\limits_{\partial B} {(\zeta - c)^n d\zeta }
$$.- 4. Historisches zur Integration im Komplexen.- 5. Unabhängigkeit von der Parametrisierung.- 6. Zusammenhang mit reellen Kurvenintegralen.- § 2. Eigenschaften komplexer Wegintegrale.- 1. Rechenregeln.- 2. Standardabschätzung.- 3. Vertauschungssätze.- 4. Das Integral
$$
\frac{1}
{{2\pi i}}\int\limits_{\partial B} {\frac{{d\zeta }}
{{\zeta - z}}}
$$.- § 3. Wegunabhängigkeit von Integralen. Stammfunktionen.- 1. Stammfunktionen.- 2. Bemerkungen über Stammfunktionen. Integrabilitäts- kriterium.- 3. Integrabilitätskriterium für Sterngebiete.- 7. Integralsatz, Integralformel und Potenzreihenentwicklung.- § 1. Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete.- 1. Integrallemma von Goursat.- 2. Cauchyscher Integralsatz für Sterngebiete.- 3. Historisches zum Integralsatz.- 4. Historisches zum Integrallemma.- 5.* Reeller Beweis des Integrallemmas.- 6.* Die Fresnelschen Integrale.- 7.* Das Integral
$$
I(z):= \int\limits_0^\infty {t^{ - 1} (e^{ - t} - e^{ - tz} )dt}
$$.- § 2. Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.- 1. Zentrierungslemma.- 2. Cauchysche Integralformel für Kreisscheiben.- 3. Historisches zur Integralformel.- 4.* Die Cauchysche Integralformel für reell stetig differenzierbare Funktionen.- 5.* Schwarzsche Integralformel.- § 3. Entwicklung holomorpher Funktionen in Potenzreihen.- 1. Entwicklungslemma.- 2. Entwicklungssatz von Cauchy-Taylor.- 3. Historisches zum Entwicklungssatz.- 4. Riemannscher Fortsetzungssatz.- 5. Historisches zum Riemannschen Fortsetzungssatz.- § 4. Diskussion des Entwicklungssatzes.- 1. Holomorphie und unendlich häufige komplexe Differenzierbarkeit.- 2. Umbildungssatz.- 3. Analytische Fortsetzung.- 4. Produktsatz für Potenzreihen.- 5. Bestimmung von Konvergenzradien.- § 5.* Spezielle Taylorreihen. Bernoullische Zahlen.- 1. Taylorreihe von z(ez - 1)-1. Bernoullische Zahlen.- 2. Taylorreihen von z cot z, tan z und
$$
\frac{z}
{{\sin \;z}}
$$.- 3. Potenzsummen und Bernoullische Zahlen.- 4. Bernoullische Polynome.- C. Cauchy-Weierstraß-Riemannsche Funktionentheorie.- 8. Fundamentalsätze über holomorphe Funktionen.- § 1. Identitätssatz.- 1. Identitätssatz.- 2. Historisches zum Identitätssatz.- 3. Diskretheit und Abzählbarkeit der a-Stellen.- 4. Nullstellenordnung und Vielfachheit.- 5. Existenz singulärer Punkte.- § 2. Der Holomorphiebegriff.- 1. Holomorphie, lokale Integrabilität und konvergente Potenzreihen.- 2. Holomorphie von Integralen.- 3. Holomorphie, Winkel- und Orientierungstreue (endgültige Fassung).- 4. Cauchyscher, Riemannscher und Weierstraß- scher Standpunkt. Das Glaubensbekenntnis von Weierstrass.- § 3. Cauchysche Abschätzungen und Ungleichungen für Taylorkoeffizienten.- 1. Cauchysche Abschätzungen für Ableitungen in Kreisscheiben.- 2. Gutzmersche Formel. Maximumprinzip.- 3. Ganze Funktionen. Satz von Liouville.- 4. Historisches zu den Cauchyschen Ungleichungen und zum Satz von Liouville.- 5.* Beweis der Cauchyschen Ungleichungen nach Weierstrass.- §4. Konvergenzsätze von Weierstrass.- 1. Weierstraßscher Konvergenzsatz.- 2. Differentiationssätze für Reihen. Weierstraßscher Doppelreihensatz.- 3. Historisches zu den Konvergenzsätzen.- 4.* Weitere Konvergenzsätze.- 5.* Eine Bemerkung Weierstrass' zur Holomorphie.- 6.* Eine Konstruktion von Weierstrass.- § 5. Offenheitssatz und Maximumprinzip.- 1. Offenheitssatz.- 2. Maximumprinzip.- 3. Historisches zum Maximumprinzip.- 4. Verschärfung des Weierstraßschen Konvergenzsatzes.- 5. Satz von Hurwitz.- 9. Miscellanea.- § 1. Fundamentalsatz der Algebra.- 1. Fundamentalsatz der Algebra.- 2. Vier Beweise des Fundamentalsatzes.- 3. Satz von Gauss über die Lage der Nullstellen von Ableitungen.- § 2. Schwarzsches Lemma und die Gruppen Aut IE, Aut ?.- 1. Schwarzsches Lemma.- 2. Mittelpunktstreue Automorphismen von IE. Die Gruppen Aut IE und Aut ?.- 3. Fixpunkte von Automorphismen.- 4. Historisches zum Schwarzschen Lemma.- 5. Lemma von Schwarz-Pick.- 6. Satz von Study.- § 3. Holomorphe Logarithmen und holomorphe Wurzeln.- 1. Logarithmische Ableitung. Existenzlemma.- 2. Homologisch einfach zusammenhängende Bereiche. Existenz holomorpher Logarithmusfunktionen.- 3. Holomorphe Wurzelfunktionen.- 4. Die Gleichung
$$
f(z) = f(c)\exp \int\limits_\gamma {\frac{{f'(\zeta )}}
{{f(\zeta )}}d\zeta }
$$.- 5. Die Kraft der Quadratwurzel.- §4. Biholomorphe Abbildungen. Lokale Normalform.- 1. Biholomorphiekriterium.- 2. Lokale Injektivität und lokal-biholomorphe Abbildungen.- 3. Lokale Normalform.- 4. Geometrische Interpretation der lokalen Normalform.- 5. Faktorisierung holomorpher Funktionen.- § 5. Allgemeine Cauchy-Theorie.- 1. Die Indexfunktion ind?(z).- 2. Hauptsatz der Cauchyschen Funktionentheorie.- 3. Beweis von iii)?ii) nach Dixon.- 4. Nullhomologie. Charakterisierung homologisch einfach zusammenhängender Bereiche.- §6.* Asymptotische Potenzreihenentwicklungen.- 1. Definition und elementare Eigenschaften.- 2. Eine hinreichende Bedingung für die Existenz asymptotischer Entwicklungen.- 3. Asymptotische Entwicklungen und Differentiation.- 4. Satz von Ritt.- 5. Satz von E. Borel.- 10. Isolierte Singularitäten. Meromorphe Funktionen.- § 1. Isolierte Singularitäten.- 1. Hebbare Singularitäten. Pole.- 2. Entwicklung von Funktionen um Polstellen.- 3. Wesentliche Singularitäten. Satz von Casorati und Weierstrass.- 4. Historisches zur Charakterisierung isolierter Singularitäten.- § 2.* Automorphismen punktierter Bereiche.- 1. Isolierte Singularitäten holomorpher Injektionen.- 2. Die Gruppen Aut ? und Aut ?x.- 3. Automorphismen punktierter beschränkter Bereiche.- 4. Starre Gebiete.- § 3. Meromorphe Funktionen.- 1. Definition der Meromorphie.- 2. Die ?-Algebra ?(D)der in D meromorphen Funktionen.- 3. Division von meromorphen Funktionen.- 4. Die Ordnungsfunktion oc.- 11. Konvergente Reihen meromorpher Funktionen.- § 1. Allgemeine Konvergenztheorie.- 1. Kompakte und normale Konvergenz.- 2. Rechenregeln.- 3. Beispiele.- §2. Die Partialbruchentwicklung von ? cot ? z.- 1. Cotangens und Verdopplungsformel. Die Identität ? cot ? z = ?1(z).- 2. Historisches zur Cotangensreihe und zu ihrem Beweis.- 3. Partialbruchreihen für
$$
\frac{{\pi ^2 }}
{{\sin ^2 \pi z}}
$$
und
$$
\frac{\pi }
{{\sin \pi z}}
$$.- 4.* Charakterisierung des Cotangens durch sein Additionstheorem bzw. seine Differentialgleichung.- § 3. Die Eulerschen Formeln für
$$
\sum\limits_{v \geq 1} {\frac{1}
{{v^{2n} }}}
$$.- 1. Entwicklung von ?1(z) um 0 und Eulersche Formeln für ?(2n).- 2. Historisches zu den Eulerschen ?(2n)-Formeln.- 3. Differentialgleichung für ?1 und eine Identität für Bernoullische Zahlen.- 4. Die Eisensteinreihen
$$
\varepsilon _k (z): = \sum\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{1}
{{(z + v)^k }}}
$$.- § 4.* Eisenstein-Theorie trigonometrischer Funktionen.- 1. Additionstheorem.- 2. Eisensteins Grundformeln.- 3. Weitere Eisensteinsche Formeln und die Identität ?1(z) = ?z.- 4. Skizze der Theorie der Kreisfunktionen nach Eisenstein.- 12. Laurentreihen und Fourierreihen.- § 1. Holomorphe Funktionen in Kreisringen und Laurentreihen.- 1. Cauchytheorie für Kreisringe.- 2. Laurentdarstellung in Kreisringen.- 3. Laurententwicklungen.- 4. Beispiele.- 5. Historisches zum Satz von Laurent.- 6.* Herleitung des Satzes von Laurent aus dem Satz von Cauchy-Taylor.- § 2. Eigenschaften von Laurentreihen.- 1. Konvergenzsatz und Identitätssatz.- 2. Gutzmersche Formel und Cauchysche Ungleichungen.- 3. Charakterisierung isolierter Singularitäten.- § 3. Periodische holomorphe Funktionen und Fourierreihen.- 1. Streifengebiete und Kreisringe.- 2. Periodische holomorphe Funktionen in Streifengebieten.- 3. Fourierentwicklung in Streifengebieten.- 4. Beispiele.- 5. Historisches zu Fourierreihen.- § 4. Die Thetafunktion.- 1. Konvergenzsatz.- 2. Konstruktion doppelt-periodischer Funktionen.- 3. Die Fourierreihe von
$$
e^{ - z^2 \pi \tau } \vartheta (i\tau z,\tau )
$$.- 4. Transformationsformel der Thetafunktion.- 5. Historisches zur Thetafunktion.- 6. Über das Fehlerintegral.- 13. Residuenkalkül.- §1. Residuensatz.- 1. Einfach geschlossene Wege.- 2. Das Residuum.- 3. Beispiele.- 4. Residuensatz.- 5. Historisches zum Residuensatz.- § 2. Folgerungen aus dem Residuensatz.- 1. Das Integral
$$
\frac{1}
{{2\pi i}}\int\limits_\gamma {F(\zeta )\frac{{f'(\zeta )}}
{{f(\zeta ) - a}}d\zeta }
$$.- 2. Anzahlformel für Null- und Polstellen.- 3. Satz von Rouché.- 14. Bestimmte Integrale und Residuenkalkül.- § 1. Berechnung von Integralen.- 0. Uneigentliche Integrale.- 1. Trigonometrische Integrale
$$
\int\limits_0^{2\pi } {R(\cos \;\varphi,\;\sin \;\varphi )d\varphi }
$$.- 2. Uneigentliche Integrale
$$
\int\limits_{ - \infty }^\infty {f(x)dx}
$$.- 3. Das Integral
$$
\int\limits_0^\infty {\frac{{x^{m - 1} }}
{{1 + x^n }}dx}
$$
für m, n??, 0 Mathematiker.