Die grundlegende Arbeit von A. M. LJAPUNOV (1857 bis 1918) über die Stabilität der Bewegung, die 1892 in russischer Sprache, 1907 in französischer Übersetzung! erschien, hat ursprünglich nur wenig Beach­ tung gefunden und war lange Zeit hindurch nahezu vergessen. Erst vor etwa 25 Jahren wurden diese Untersuchungen von einigen sowjetischen Mathematikern wieder aufgegriffen. Man bemerkte dabei, daß sich die Ljapunovschen Ansätze zur Bewältigung konkreter Probleme der Physik und Technik eigneten, und seitdem befaßt man sich, wie die wachsende Zahl der Veröffentlichungen erkennen läßt, in steigendem Maße mit der von LJAPUNOV begründeten Stabilitätstheorie. Vor allem gilt das für die sogenannte zweite oder direkte Methode. LJAPUNOV hat sie eigentlich nur zur Ableitung von Stabilitätskriterien der theoretischen Mechanik benutzt. Jetzt verwendet man sie einerseits bei praktischen Aufgaben aus dem Bereich der mechanischen und elektrischen Schwin­ gungen, insbesondere in der Regelungstechnik; andererseits hat man erkannt, daß die direkte Methode als leitendes Prinzip einer allgemeinen Stabilitätstheorie dienen kann, die erheblich mehr umfaßt als die bei gewöhnlichen Differentialgleichungen auftretenden Probleme. Die Theorie der direkten Methode ist in den letzten Jahren sehr gefördert und zu einem gewissen Abschluß gebracht worden. Sie kann daher jetzt in einem zusammenfassenden Ergebnisbericht dargestellt werden. Eine Übersicht, die diese Dinge einem größeren Kreise näher­ bringen kann, erscheint um so mehr angezeigt, als fast die gesamte Literatur in russischer Sprache und an teilweise schwer zugänglichen Stellen erschienen isP.

I. Die Grundbegriffe.- § 1. Bezeichnungen.- § 2. Der Begriff der Stabilität nach Ljapunov.- § 3. Die Idee der direkten Methode vonLjapunov.- II. Hinreichende Bedingungen für die Stabilität oder Instabilität der Ruhelage.- § 4. Die Hauptsätze über die Stabilität.- § 5. Die Sätze über die Instabilität.- III. Anwendungen der Stabilitätssätze auf konkrete Probleme.- § 6. Grundsätzliches über die Anwendungen.- § 7. Bewegungsgleichungen mit definiten ersten Integralen.- § 8. Konstruktion einer Ljapunovschen Funktion für eine lineare Gleichung mit konstanten Koeffizienten.- § 9. Einfache Stabilitätsbetrachtungen bei nichtautonomen linearen Gleichungen.- § 10. Gleichungen mit linearem Hauptbestandteil.- § 11. Schranken für die Anfangswerte.- § 12. Abschätzungen für den Stabilitätsbereich der Parameter.- § 13. Das Problem von AJzERMAN und seine Modifikationen.- § 14. Ein Problem von LUR'E und seine Verallgemeinerungen.- § 15. Abschätzungen für die Lösungen.- IV. Die Umkehrungen der Hauptsätze.- § 16. Problemstellung.- § 17. Die Gleichmäßigkeit der Stabilität.- § 18. Die Umkehrungen der Stabilitätssätze.- § 19. Die Umkehrungen der Instabilitätssätze.- § 20. Zur Stabilitätstheorie der dynamischen Systeme..- § 21. Das Konstruktionsverfahren von Zubov.- V. Ljapunovsche Funktionen mit bestimmtem Wachstumsverhalten.- § 22. Ordnungszahl und exponentielle Stabilität.- § 23. Differentialgleichungen mit homogenen rechten Seiten.- § 24. Das Stabilitätsverhalten bei linearen Differentialgleichungen.- § 25. Die Ordnungszahlen einer linearen Differentialgleichung.- VI. Die Empfindlichkeit des Stabilitätsverhaltens gegen Störungen.- § 26. Die Stabilität nach der ersten Näherung.- § 27. Der Satz vonLjapunov über reguläreDifferentialgleichungen.- § 28. Die totale Stabilität.- VII. Die kritischen Fälle.- § 29. Allgemeines über die kritischen Fälle.- § 30. Die beiden einfachsten kritischen Fälle.- § 31. Die Malkinschen Vergleichssätze.- § 32. Einzeluntersuchungen über kritische Fälle.- § 33. Die Grenze des Stabilitätsbereichs im Parameterraum.- VIII. Verallgemeinerungen des Stabilitätsbegriffs.- § 34. Die Stabilität in einem endlichen Intervall.- § 35. Die direkte Methode in allgemeinen metrischen Räumen.- § 36. Stabilität bei partiellen Differentialgleichungen.- § 37. Die direkte Methode bei Differential-Differenzengleichungen.- § 38. Die direkte Methode bei Differenzengleichungen.- Nachträge bei der Korrektur.- Literatur.- Namenverzeichnis.