Erstes Kapitel Gegenüberstellung von Anfangswert- und Randwertproblemen.- § 1. Dirichletsches Randwertproblem der Potentialgleichung.- 1. Aufgabenstellung.- 2. Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösung.- 3. Konstruktion der Lösung mittels der Greenschen Funktion.- 4. Festlegung der Lösung durch die Randwerte.- § 2. Anfangswertproblem der Wellengleichung.- 1. Aufgabenstellung.- 2. Bestimmtheits-, Abhängigkeits und Einflußbereiche; Charakteristiken.- 3. Differenzierbarkeitseigenschaften der Lösung; Ausbreitung von Unstetigkeiten.- 4. Charakteristisches Anfangswertproblem.- 5. Beispiel: Akustische Wellen in zylindrischem Rohr.- § 3. Hyperbolische, elliptische und parabolische Differentialgleichungen.- 1. Typeneinteilung der linearen Differentialausdrücke zweiter Ordnung.- 2. Normalformen der Differentialausdrücke L [f].- § 4. Analytische Lösungen analytischer Differentialgleichungen.- 1. Existenzsatz von Cauchy-Kowalewski.- 2. Zurückführung des Existenzsatzes auf einen Konvergenzsatz.- 3. Bildungsgesetz der Koeffizientenci k.- 4. Konvergenzbeweis.- § 5. Anfangs- und Randwertaufgaben bei Differenzengleichungen.- 1. Formulierung analoger Anfangs- und Randwertaufgaben bei Differenzengleichungen.- 2. Lösung der Randwertaufgabe.- 3. Lösung der Anfangswertaufgabe.- 4. Grenzübergang von Differenzen- zu Differentialgleichungen.- 5. Anfangswertaufgabe bei allgemeineren Differenzengleichungen.- 6. Konvergenzbeweis.- § 6. Hyperbolische Differentialgleichungen in der Gasdynamik und Akustik.- 1. Grundgleichungen der Strömung kompressibler Medien.- 2. Spezialisierung für stationäre Strömungen.- 3. Spezialisierung für eindimensionale, zylindrische und kugelsymmetrische nichtstationäre Strömungen.- 4. Linearisierung der Differentialgleichungen.- Zweites Kapitel Differentialgleichungen erster Ordnung.- § 7. Quasilineare Differentialgleichung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Mongesches Richtungsfeld und Charakteristiken.- 2. Äquivalenzsatz.- 3. Anfangswertproblem.- 4. Bestimmtheitsbereich, Abhängigkeitsbereich. Einflußbereich.- 5. Erläuterungen der Alternative an Differenzengleichungen.- 6. Spezialfall: Lineare Gleichung.- § 8. Allgemeine Differentialgleichung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Mongesches Richtungsfeld.- 2. Charakteristiken und charakteristische Streifen.- 3. Aquivalenzsatz.- 4. Anfangswertproblem.- 5. Bestimmtheitsbereich, Abhängigkeitsbereich, Einflußbereich.- § 9. Vollständige und singuläre Integrale.- 1. Vollständige Integrale.- 2. Singuläre Integrale.- 3. Beispiele.- § 10. Berührungstransformationen.- 1. Elementvereine.- 2. Definition der Berührungstransformationen.- 3. Legendre-Transformation.- 4. Berührungstransformation von Differentialgleichungen.- § 11. Quasilineare Differentialgleichung bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristiken und Äquivalenzsatz.- 2. Mehrdimensionale charakteristische Mannigfaltigkeiten.- 3. Anfangswertproblem.- § 12. Allgemeine Differentialgleichung bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- 1. Charakteristische Streifen uund Ännivalenzsatz.- 2. Mehrdimensionale charakteristische Mannigfaltigkeiten.- 3. Anfangswertproblem.- 4. Quadratische Differentialgleichungen erster Ordnung.- 5. Einführung einer Riemannschen Metrik im Rn.- § 13. Vollständige Integrale; Hamilton-Jacobische Differentialgleichung.- 1. Vollständige Integrale.- 2. Anwendung auf die Hamilton-Jacobische Differentialgleichung der Mechanik.- Drittes Kapitel Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung und die allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung bei zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 14. Charakteristiken eines Systems quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Zweigliedrige Systeme.- 2. Deutung der Differentialgleichungen (14.1) längs einer vorgegebenen Kurve k.- 3. Erläuterung an Differenzen gleichungen.- 4. Charakteristiken eines hyperbolischen Systems.- 5. n-gliedrige Systeme.- § 15. Anfangswertproblem zweigliedriger Systeme (14.1).- 1. Anfangswertproblem der zweigliedrigen Systeme (14.1).- 2. Zurückführung auf ein charakteristisches System.- 3. Äquivalenzsatz.- 4. Bestimmtheits-, Abhängigkeits- und Einflußbereiche.- § 16. Integration zweigliedriger Systeme (14.1) mittels Differenzenverfahren.- 1. Präzisierung der Aufgabe.- 2. Existenzbeweis.- 3. Schranken der Gitterfunktionen und ihrer Differenzenquotienten.- 4. Eindeutigkeitsbeweis.- 5. Bestimmtheits-, Abhängigkeits- und Einflußbereiche.- § 17. Integration zweigliedriger Systeme (14.1) durch Iteration.- 1. Zurückführung des charakteristischen Systems auf ein System von Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 2. Iterationsverfahren für eine Differentialgleichung zweiter Ordnung.- 3. Iterationsverfahren für das n-gliedrige System zweiter Ordnung (17.1).- § 18. Massaltsche Gitterkonstruktion.- 1. Beschreibung der Gitterkonstruktion.- 2. Verfeinerung der Gitterkonstruktion.- 3. Spezialfälle (vgl. § 14, Ziff. 1).- § 19. Quasilineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 1. Reduktion auf ein quasilineares System erster Ordnung.- 2. Anfangswertproblem.- 3. Homogene Differentialgleichung.- 4. Legendre-Transformation.- 5. Anwendung der Massauschen Gitterkonstruktion.- § 20. Lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit geradlinigen Charakteristiken.- 1. Aufgabenstellung.- 2. Geradliniges Charakteristikennetz in der x. v-Ebene.- 3. Geradliniges Charakteristikennetz in der u. v-Eher e 92.- 4. Übertragung auf elliptische Differentialgleichungen.- 5. Normalform der Differentialgleichung (20.1) mit geradlinigem Charakteristikennetz in der x, y-Ebene.- 6. Transformationssatz für lineare homogene Differentialgleichungen (20.1).- § 21. Anwendungen auf die Flächentheorie.- 1. Infinitesimale Flächenverbiegung.- 2. Bestimmtheits- und Einfl» ßhereirhe bei der Flächenverbiegung.- 3. Infinitesimale Verbiegung zueinander projektiver Flächen.- 4. Infinitesimale Verbiegungen der Flächen zweiter Ordnung und der Flächen, bei denen der Grundriß der Asymptotenlinien ein Rückungsnetz bildet.- 5. Minimalflächen.- § 22. Anwendungen auf die stationäre Gasströmung.- 1. Zweidimensionale Überschallströmung.- 2. Spezielle Adiabatengleichungen.- 3. Drehsvmmetrische dreidimensionale Ü lhersrh al lströmungg.- 4. Nichtisentropische Überschallströmung.- § 23. Anwendungen auf die nichtstationäre Gasströmung.- 1. Eindimensionale Strömung.- 2. Spezielle Adiabatengleichungen.- 3. Dreidimensionale zylindersymmetrische und kugelsymmetrische Strömungen.- 4. Nichtisentropische Strömung.- 5. Druckwellen in zylindrischem Rohr.- 6. Vergleich mit der Akustik.- § 24. Anwendungen auf die Oberflächenwellen und auf plastische Spannungsfelder.- 1. Theorie der Oberflächenwellen in seichtem Wasser.- 2. Anwendung der Charakteristikentheorie.- 3. Theorie der ebenen plastischen Spannungsfelder.- 4. Anwendung der Charakteristikentheorie.- § 25. Allgemeine Differentialgleichung zweiter Ordnung.- 1. Zurückführung auf ein charakteristisches System.- 2. Pseudolineare Differentialgleichung zweiter Ordnung.- 3. Monge-Ampøresche Differentialgleichung.- § 26. Anfangswertproblem und Integration n-gliedriger Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Zurückführung allgemeiner Differentialgleichungen auf Systeme quasilinearer Differentialgleichungen.- 2. Charakteristische Form halblinearer Gleichungssysteme (26.1).- 3. Charakteristische Form allgemeiner quasilinearer Gleichungssysteme (26.1).- 4. Lösung des Anfangswertproblems der charakteristischen Systeme.- 5. Massausche Gitterkonstruktion.- 6. Anwendung auf nichtisentronisehe Gasströmuncgen.- 7. Probleme mit gemischten Anfangs- und Randbedingungen.- § 27. Unstetigkeiten bei Lösungen hyperbolischer Differentialgleichungen.- 1. Unstetigkeiten längs Charakteristiken.- 2. Anwendung auf die nichtstationäre Gasströmung.- 3. Unstetigkeiten erster und nullter Qrdnung.- §28. Riemvmannsches Integrationsverfahren.- 1. Aufgabenstellung.- 2. Greensche Formel.- 3. Randwertproblem der elliptischen Differentialgleichung (28. 1) und Greensche Funktion.- 4. Anfangswertproblem der hyperbolischen Differentialgleichung (28.1) und Riemannsche Funktion.- 5. Charakteristisches Anfangswertproblem und Symmetrieeigenschaft der Rlemannschen Funktion.- 6. Gegenüberstellung der Greenschen Funktion und der Riemannschen Funktion.- 7. Anwendung des Riemannschen Integrationsverfahren auf die Wellengleichung und die Telegraphengleichung.- § 29. Anwendung auf die eindimensionale nichtstationäre und die zweidimensionale stationäre Gas trömuungg.- 1. Normalform der Potentialgleichung.- 2. Zurückführung der Riemannschen Funktion auf hypergeometrische Funktionen.- 3. Zurückführung der Riemannschen Funktion auf eine Bessel.- Viertes Kapitel Systeme quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung und die quasilinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen.- § 30. Charakteristikentheorie eines Systems quasilinearer Differentialgleichungen erster Ordnung.- 1. Deutung der Differentialgleichung auf einer vorgegebenen Fläche x 14..- 2. Charakteristische Flächen.- 3. Charakteristische Kegel und charakteristische Konoide; Unstetigkeiten.- 4. Verallgemeinerung auf p-gliedrige Systeme und auf n-unabhängige Veränderliche.- 5. Anfangswertproblem und Massausche Gitterkonstruktion.- §31. Charakteristikentheorie quasilinearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 1. Reduktion auf ein quasilineares System erster Ordnung.- 2. Charakteristische Flächen als Unstetigkeitsflächen; Wellenfronten.- 3. Hiyghenssche Konstruktion der Frontlinien.- § 32. Anwendung auf stationäre und nichtstationäre Gasströmungen.- 1. Dreidimensionale stationäre Überschallströmung.- 2. Zweidimensionale nichtstationäre Strömung.- 3. Schallausbreitung in einer stationären Gasströmung.- § 33. Allgemeine Eigenschaften linearer Differentialgleichungen.- 1. Superposition von Lösungen.- 2. Methode der Variation der Konstanten.- 3. Typeneinteilung.- 4. Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- § 34. Wellengleichung im R1 und R3; Prinzip von Huyghens.- 1. Wellengleichung im R1.- 2. Homogene Wellengleichung im R3.- 3. Verifikation der Lösung.- 4. Beweis des Hilfssatzes (34.15).- 5. Nichthomogene Wellengleichung in R3.- 6. Bestimmtheits-, Abhängigkeits- und Einflußbereiche; Huyghenssches Prinzip.- 7. Ausstrahlungslösungen.- § 35. Wellengleichung im R2; Absteigmethode von Hadamard.- 1. Homogene und nichthomogene Wellengleichung im x2.- 2. Ausstrahlungslösungen.- 3. Bestimmtheits-, Abhängigkeits- und Einflußbereiche; Nichtgültigkeit des Huyghensschen Prinzips.- 4. Gegenüberstellung der Ausstrahlungslösungen im R1, R2 und R3.- § 36. Anwendung auf die linearisierte stationäre Überschallströmung um Drehkörper (linienhafte Quellenverteilung).- 1. Achsensymmetrische Strömung um Drehkörper.- 2. Nichtgültigkeit des Huyghensschen Prinzips.- 3. Schiefe Strömung um Drehkörper.- § 37. Wellengleichung im Rm; Darbouxsche Gleichung.- 1. Anfangswertproblem und Ausstrahlungslösungen.- 2. Umformungen und HuyghensscheS Prinzip.- 3. Darbouxsche Gleichung der Mittelwerte.- 4. Elementare Lösungen der Arbouxscnen Gieicnung.- § 38. Reduktion dreidimensionaler Probleme auf zwei- und eindimensionale durch Symmetrieannahmen.- 1. Symmetrieannahmen und Trennung der Veränderlichen.- 2. Nachbarlösungen drehsymmetrischer Uberschallströmungen.- 3. Dreh- und kegelsymmetrische u berscnallstromungen und Nachbarlösungen.- 4. Kegelsymmetrische linearisierte Uberschallströmung.

Das vorliegende Buch behandelt Anfangswertprobleme, die bei partiellen Differentialgleichungen und Differentialgleichungssystemen vom hyperbolischen Typus auftreten. Nach dem einführenden Kapitel I, in dem an einfachen Beispielen Anfa. ngswert- und Randwertprobleme gegenübergestellt werden, und dem vorbereitenden Kapitel II, das eine kurze Darstellung der Charakteristikentheorie der Differential­ gleichung erster Ordnung enthält, sind die beiden Hauptkapitel III und IV den Systemen quasilinearer Differentialgleichungen erster Ord­ nung und der Differentialgleichung zweiter Ordnung gewidmet. In Kapitel Irr werden diese Probleme bei zwei unabhängigen Veränder­ lichen, in Kapitel IV bei mehr als zwei unabhängigen Veränderlichen behandelt. Hyperbolische Anfangswertprobleme treten in allen Gebieten der Physik und Technik auf, die es mit Wellenausbreitungs- und Aus­ strahlungsvorgängen zu tun haben. Ein besonders umfassendes An­ wendungsgebiet der Systeme quasilinearer Differentialgleichungen ist die Strömungslehre kompressibler Medien, die man kurz als Gasdynamik zu bezeichnen pflegt. Ein wesentliches Ziel dieses Buches soll es sein, dem Physiker und Ingenieur das erforderliche mathematische Rüstzeug in einer ihm angemessenen Weise zu vermitteln. Im Sinne dieser Ziel­ setzung wird durchwegs versucht, die grundlegenden Begriffe der Theorie geometrisch und physikalisch zu veranschaulichen und an analogen Fragen bei Differenzengleichungen zu verdeutlichen. Aus dem­ selben Grunde ist den Anwendungen, insbesondere aus dem Gebiet der Gasdynamik, sowie der Darlegung numerischer und graphischer Näherungsmethoden (Differenzenverfahren, Gitterkonstruktionen) ein breiterer Raum zugewiesen, als dies in mathematischen Büchern sonst üblich ist. Bezüglich der numerischen Methoden sei auch auf das als Bd. LX dieser Sammlung erschienene Buch von L. COLLATZ: Numeri­ sche Behandlung von Differentialgleichungen, und zwar insbesondere auf Kap. III dieses Buches, verwiesen.