0. Mengen und Abbildungen (Nomenklatur).- 1. Mengen.- 2. Durchschnitt und Vereinigung.- 3. Abbildungen (Funktionen).- 4. Surjektive, injektive, bijektive Abbildungen.- 5. Komposition von Abbildungen.- 6. Familien und Folgen.- 7. Produkte von Mengen.- 8. Äquivalenzrelationen.- I. Algebraische Strukturen.- §1. Gruppen und Homomorphismen.- 1. Verknüpfungen.- 2. Halbgruppen. Unterhalbgruppen.- 3. Neutrale und inverse Elemente.- 4. Potenzen.- 5. Gruppen.- 6. Gruppe der invertierbaren Elemente.- 7. Homomorphismen.- §2. Untergruppen, Normalteiler und Restklassengruppen.- 1. Untergruppen.- 2. Ordnung eines Elementes.- 3. Darstellung durch Linksmultiplikation.- 4. Innere Automorphismen.- 5. Nebenklassen und Normalteiler.- 6. Kommutatoren und Kommutatorgruppen.- 7. Äquivalenzrelationen in Halbgruppen. Restklassengruppen.- §3. Die symmetrische Gruppe Gn.- 1. Die Gruppe Gn.- 2. Fixpunkte. Transpositionen.- 3. Der Signumhomomorphismus sgn: Gn ? {1, ?1}.- 4. Die alternierende Gruppe Un.- 5. Bahnen und Signum.- §4. Ringe und Körper.- 1. Ringe.- 2. Binomischer Lehrsatz.- 3. Homomorphismen. Unterringe.- 4. Charakteristik eines Ringes.- 5. Integritätsringe.- 6. Einheiten.- 7. Körper.- §5. Polynomringe.- 1. Motivation der Multiplikation.- 2. Polynome. Grad.- 3. Polynome und Funktionen.- 4. Wurzeln.- 5. Injektivität von ?:R[X]?Abb(M, R).- 6. Polynome in mehreren Unbestimmten.- 7. Darstellung von Permutationen als Polynomringautomorphismen. Signumepimorphismus.- II. Elementare Modultheorie.- §1. Moduln und Modulhomomorphismen.- 1. Moduln.- 2. Beispiele.- 3. Modulhomomorphismen.- 4. Der R-Modul HomR (M,N).- 5. Der Endomorphismenring EndRM. Annullator.....- 6. Die Automorphismengruppe AutRM..- 7. Charakterisierung endlicher direkter Produkte durch Homomorphismen.- §2. Untermoduln und Restklassenmoduln. Restklassenringe..- 1. Untermoduln. Ideale.- 2. Untermoduln und Homomorphismen.- 3. Restklassenmoduln.- 4. Restklassenringe.- 5. Primideale und maximale Ideale.- 6. Die Restklassenringe ?/n?.- §3. Isomorphiesätze. Eigenschaften von Restklassenmoduln.- 1. Exakte Sequenzen. Induzierte Homomorphismen....- 2. Isomorphiesätze.- 3. Abbildungstheoretische Charakterisierung von Restklassenmoduln.- §4. Funktoren von Moduln.- 1. Verkleinerung des Grundringes.- 2. Funktoren. Additivität.- 3. Duale Moduln und duale Homomorphismen.- 4. Bidual.- III. Theorie endlich erzeugbarer Moduln.- §1. Erzeugendensysteme.- 1. Erzeugendensysteme.- 2. Erzeugendenzahl eines Moduls.- 3. Zyklische Moduln.- 4. Summenmoduln.- §2. Direkte Summen.- 1. Direkte Summen von Untermoduln.- 2. Direkte Produkte und direkte Summen.- 3. Projektionen. Fixpunktmoduln.- 4. Direkte Summanden. Supplemente.- 5. Fittingsches Lemma.- §3. Freie Moduln.- 1. Lineare Unabhängigkeit. Freiheit.- 2. Basen. Freie Moduln. Koordinatensysteme.- 3. Epimorphismen mit freien Bildmoduln.- 4. Ergänzungssatz. Aufspaltung exakter Sequenzen.- §4. Freiheitsgrad von Moduln.- 1. Freiheitsgrad.- 2. Die Gradungleichung fg M?fg Ker?p + fgIm03C6.... Ill.- 3. DieGradgleichungfgM = fg Ker? + fg Im?.- 4. Folgerungen aus der Gradgleichung.- §5. Lineare Abbildungen freier Moduln.- 1. Lineare Fortsetzung von Abbildungen.- 2. Dual und Bidual freier Moduln.- 3. Invarianz der Basislänge. Rang.- 4. Ein Struktursatz über den Endomorphismenring EndRF.- §6. Endlichdimensionale Vektorräume.- 1. Freiheit und Basen.- 2. Ergänzungssatz und Austauschsatz von Steinitz.....- 3. Dimensionstheorie.- 4. Rang eines Homomorphismus. Bijektivitätskriterien.- 5. Verschwindungsräume.- 6. Dimensionsformel dim U+dim U=dimV und Ranggleichung rg ? = rg ?*.- 7. Dualitätsprinzip für endlichdimensionale Vektorräume.- IV. Lineare Abbildungen und Matrizen.- § 1. Der R-Modul R(m,n) der(m, n)-Matrizen. Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen.- 1. Matrizen.- 2. Transposition von Matrizen.- 3. Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen. Darstellungsisomorphismen.- 4. Duale Abbildungen und transponierte Matrizen.- 5. Darstellung linearer Abbildungen zwischen direkten.- Summen durch Matrizen.- §2. Multiplikation von Matrizen.- 1. Die allgemeine Multiplikation R(m,n) x R(n,p) ? R(m,p).- 2. Multiplikativitat der Darstellungsisomorphismen.- 3. Rechenregeln der Matrizenmultiplikation.- 4. Der Isomorphisms R(m,n)$$\xrightarrow{ \sim }$$HomR(Rn,Rm).- 5. Skalarprodukt.- § 3. Der Matrizenring R(m,m) und die allgemeine lineare Gruppe GL (m,R).- 1. Der Ring R
(m,m).- 2. Der Ringisomorphismus ?x: End M?R(m,m).- 3. Die Gruppe GL(m, R).- 4. Das Zentrum der Gruppe GL(m,L).- 5. Antihomomorphismen.- §4. Äquivalente und ähnliche Matrizen.- 1. Übergangsmatrix. Basistransformation.- 2. Äquivalente Matrizen.- 3. Ähnliche Matrizen.- 4. Spurform Sp für Matrizen.- 5. Spurform Sp für Endomorphismen.- 6. Invariante Charakterisierung der Spurform.- § 5. Matrizenkalkül über Körpern. Rang einer Matrix.....- 1. Spaltenrang und Zeilenrang.- 2. Ranggleichung für Matrizen.- 3. Normalformensatz für äquivalente Matrizen.- §6. Lineare Gleichungen.- 1. Formulierung des Problems. Geometrische Interpretation.- 2. Allgemeine Lösbarkeitskriterien.- 3. Lösbarkeitskriterien für Körper.- 4. Normalformenmethode. Alternativsatz.- 5. Eliminationsmethode.- §7. Elementare Matrizenumformungen über Köpern.....- 1. Die Matrizen B??(b) und D?(d) Elementarmatrizen.- 2. Elementare Zeilenumformungen.- 3. Elementare Spaltenumformungen.- 4. Herstellung der Normalform.- 5. Nähere Beschreibung der Produktdarstellung invertierbarer Matrizen durch Elementarmatrizen.- §8. Die spezielle lineare Gruppe. Transvektionen und Dilatationen.- 1. Definition der Gruppe SL(m,K).- 2. Die Inklusion Kom GL(m,K)?SL(m,K) und die Gleichung Kom GL (m, K)=SL (m, K).- 3. Geometrische Charakterisierung der Elementarmatrizen B??, (b).- 4. Die Gleichung Kom SL(m, K)=SL(m, K).- 5. Geometrische Charakterisierung der Elementarmatrizen D?(d).- 6. Transvektionen und Dilatationen.- 7. Die Gruppe SL(V).- V. Determinanten.- §1. Multilineare und alternierende Abbildungen.- 1. Multilineare Abbildungen. Beispiele.- 2. Alternierende und schiefsymmetrische multilineare Abbildungen.- 3. Rechenregeln für alternierende Formen.- §2. Existenz alternierender Formen.- 1. Konstruktion alternierender Formen mittels des Signumepimorphismus.- 2. Konstruktion alternierender m-Formen aus (m-1)- Formen.- §3. Determinanten.- 1. Determinante eines Endomorphismus.- 2. Eigenschaften der Determinante.- 3. Determinante einer quadratischen Matrix.- 4. Produktregel und Transpositionsinvarianz.- 5. Charakterisierung der Gruppe SL (m, K) durch die Determinante.- 6. Spur eines Endomorphismus.- §4. Determinantenkalkiil.- 1. Berechnung spezieller Determinanten.- 2. Berechnung von Determinanten mittels elementarer Zeilen- und Spaltenumformungen..- 3. Unterdeterminanten....- 4. Adjungierte Matrix. Laplacescher Entwicklungssatz.- § 5. Inverse und adjungierte Matrix.- 1. Charakterisierung invertierbarer Matrizen und Endomorphismen durch ihre Determinante. Basiskriterien.- 2. Determinantenrang.- 3. Die Inklusion (det?)M?=Im?.- 4. Rechenregeln für adjungierte Matrizen.- § 6. Lineare Gleichungen und Determinanten.- 1. Cramersche Regel.- 2. Lineare Gleichungssysteme in Moduln. Epimorphismen endlich erzeugbarer R-Moduln.- 3. Eindeutigkeitskriterien.- 4. Abbildungstheoretische Interpretation.- 5. Erzeugendenzahl und Freiheitsgrad.- § 7. Das charakteristische Polynom.- 1. Eigenräume, Eigenwerte und Eigenvektoren.- 2. Charakteristisches Polynom.- 3. Fahnensatz. Trigonalisierbare Matrizen.- 4. Satz von Cayley-Hamilton.- Supplement. Noethersche, artinsche, halbeinfache Moduln.- §1. Noethersche und artinsche Moduln.- 1. Noethersche Moduln.- 2. Eigenschaften noetherscher Moduln.- 3. Noethersche Ringe.- 4. Hilbertscher Basissatz.- 5. Artinsche Moduln und artinsche Ringe.- §2. Halbeinfache Moduln.- 1. Einfache Moduln.- 2. Direkte Summen eines einfachen Moduls.- 3. Halbeinfache Moduln. Ergänzungssatz.- 4. Folgerungen aus dem Erganzungssatz.- 5. Umkehrung des Erganzungssatzes. Charakterisierung halbeinfacher Moduln.- §3. Struktur halbeinfacher Moduln.- 1. m-Komponenten. Struktursatz.- 2. Isomorphiekriterien für halbeinfache Moduln.- 3. Homogene Moduln.- 4. Länge halbeinfacher Moduln.- Literatur.- Symbolverzeichnis.