Prof. Dr. Dirk W. Hoffmann ist Dozent an der Fakultät für Informatik und Wirtschaftsinformatik der Hochschule Karlsruhe - Technik und Wirtschaft.

Vorwort

1 Historische Notizen

1.1 Wahrheit und Beweisbarkeit

1.2 Der Weg zur modernen Mathematik

1.2.1 Rätsel des Kontinuums

1.2.2 Auf den Spuren der Unendlichkeit

1.2.3 Macht der Symbole

1.2.4 Aufbruch in ein neues Jahrhundert

1.2.5 Grundlagenkrise

1.2.6 Axiomatische Mengenlehre

1.2.7 Hilberts Programm und Gödels Beitrag

1.2.8 Grenzen der Berechenbarkeit

1.2.9 Auferstanden aus Ruinen

1.3 Übungsaufgaben

2 Formale Systeme

2.1 Definition und Eigenschaften

2.2 Entscheidungsverfahren

2.3 Aussagenlogik

2.3.1 Syntax und Semantik

2.3.2 Aussagenlogischer Kalkül

2.4 Prädikatenlogik erster Stufe

2.4.1 Syntax und Semantik

2.4.2 Prädikatenlogischer Kalkül

2.5 Prädikatenlogik mit Gleichheit

2.6 Prädikatenlogik höherer Stufe

2.6.1 Syntax und Semantik

2.6.2 Henkin-Interpretation

2.7 Übungsaufgaben

3 Fundamente der Mathematik

3.1 Peano-Arithmetik

3.1.1 Syntax

3.1.2 Semantik

3.1.3 Axiome und Schlussregeln

3.2 Axiomatische Mengenlehre

3.2.1 Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

3.2.1.1 ZF-Axiome

3.2.1.2 Das Auswahlaxiom

3.2.1.3 Mengenlehre als Fundament der Mathematik

3.2.1.4 Einbettung der natürlichen Zahlen

3.2.2 Ordinalzahlen

3.2.2.1 Definition und Eigenschaften

3.2.2.2 Der Unendlichkeit entgegen

3.2.2.3 Ordnungstypen und Wohlordnungen

3.2.2.4 Transfinite Induktion

3.2.3 Kardinalzahlen

3.3 Übungsaufgaben

4 Beweistheorie

4.1 Gödel'sche Unvollständigkeitssätze

4.2 Der erste Unvollständigkeitssatz

4.2.1 Arithmetisierung der Syntax

4.2.2 Primitiv-rekursive Funktionen

4.2.3 Arithmetische Repräsentierbarkeit

4.2.4 Gödels Diagonalargument

4.2.5 Rossers Beitrag

4.3 Der zweite Unvollständigkeitssatz

4.4 Gödels Sätze richtig verstehen

4.5 Satz von Goodstein

4.6 Übungsaufgaben

5 Berechenbarkeitstheorie

5.1 Berechnungsmodelle

5.1.1 Turing-Maschinen

5.1.1.1 Erweiterungen des Basismodells

5.1.1.2 Alternative Beschreibungsformen

5.1.1.3 Universelle Turing-Maschine

5.1.2 Registermaschinen

5.2 Church'sche These

5.3 Grenzen der Berechenbarkeit

5.3.1 Halteproblem

5.3.2 Satz von Rice

5.4 Folgen für die Mathematik

5.4.1 Unentscheidbarkeit der PL1

5.4.2 Unvollständigkeit der Arithmetik

5.4.3 Hilberts zehntes Problem

5.4.3.1 Diophantische Repräsentierbarkeit

5.4.3.2 Codierung von Registermaschinen

5.5 Übungsaufgaben

6 Algorithmische Informationstheorie

6.1 Algorithmische Komplexität

6.2 Die Chaitin'sche Konstante

6.3 Unvollständigkeit formaler Systeme

6.4 Übungsaufgaben

7 Modelltheorie

7.1 Meta-Resultate zur Prädikatenlogik

7.1.1 Modellexistenzsatz

7.1.2 Kompaktheitssatz

7.1.3 Satz von Löwenheim-Skolem

7.2 Nichtstandardmodelle von PA

7.2.1 Abzählbare Nichtstandardmodelle

7.2.2 Überabzählbare Nichtstandardmodelle

7.3 Skolem-Paradoxon

7.4 Boole'sche Modelle

7.4.1 Definition und Eigenschaften

7.4.2 Ein einfacher Unabhängigkeitsbeweis

7.5 Übungsaufgaben

Literaturverzeichnis

Namensverzeichnis

Ist die Mathematik frei von Widersprüchen? Gibt es Wahrheiten jenseits des Beweisbaren? Ist es möglich, unser mathematisches Wissen in eine einzige Zahl hineinzucodieren?

Die moderne mathematische Logik des zwanzigsten Jahrhunderts gibt verblüffende Antworten auf solche Fragen; Antworten, die die Mathematik in der gleichen Weise verändert haben wie die Einstein'sche Relativitätstheorie die Physik. Heute wissen wir, dass in der Mathematik erkenntnistheoretische Grenzen existieren, die wir nicht überwinden können. Sie sind integraler Bestandteil jener Gesetzmäßigkeiten, die diese Wissenschaft im Innersten zusammenhalten.

Das vorliegende Buch entführt Sie auf eine Reise durch die Kerngebiete der mathematischen Logik, hin zu den Grenzen der Mathematik. Unter anderem werden die folgenden Themen behandelt: Geschichte der mathematischen Logik, formale Systeme, axiomatische Zahlentheorie und Mengenlehre, Beweistheorie, die Gödel'schen Unvollständigkeitssätze, Berechenbarkeitstheorie, algorithmische Informationstheorie, Modelltheorie.

Das Buch enthält zahlreiche zweifarbige Abbildungen und mehr als 70 Aufgaben (mit Lösungen auf der Website zum Buch).