A. Von den natürlichen zu den komplexen Zahlen.- 1. Natürliche, ganze und rationale Zahlen.- § 1. Historisches.- 1. Ägypten und Babylonien.- 2. Griechenland.- 3. Indisch-arabische Rechenpraxis.- 4. Neuzeit.- § 2. Natürliche Zahlen.- 1. Definition der natürlichen Zahlen.- 2. Rekursionssatz und Einzigkeit von ?.- 3. Addition, Multiplikation und Anordnung der natürlichen Zahlen.- 4. Peanos Axiome.- § 3. Ganze Zahlen.- 1. Die additive Gruppe ?.- 2. Der Integritätsring ?.- 3. Die Anordnung in ?.- § 4. Rationale Zahlen.- 1. Historisches.- 2. Der Körper ?.- 3. Die Anordnung in ?.- Literatur.- 2. Reelle Zahlen.- § 1. Historisches.- 1. Hippasus und das Pentagon.- 2. Eudoxos und die Proportionenlehre.- 3. Irrationalzahlen in der neuzeitlichen Mathematik.- 4. Präzisierungen des 19. Jahrhunderts.- § 2. Dedekindsche Schnitte.- 1. Die Menge ? der Schnitte.- 2. Die Anordnung in ?.- 3. Die Addition in ?.- 4. Die Multiplikation in ?.- § 3. Fundamentalfolgen.- 1. Historisches.- 2. Das Cauchysche Konvergenzkriterium.- 3. Der Ring der Fundamentalfolgen.- 4. Der Restklassenkörper F/N der Fundamentalfolgen modulo den Nullfolgen.- 5. Der vollständig geordnete Restklassenkörper F/N.- § 4. Intervallschachtelungen.- 1. Historisches.- 2. Intervallschachtelungen und Vollständigkeit.- § 5. Axiomatische Beschreibung der reellen Zahlen.- 1. Die natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen im reellen Zahlkörper.- 2. Vollständigkeitssätze.- 3. Einzigkeit und Existenz der reellen Zahlen.- Literatur.- 3. Komplexe Zahlen.- § 1. Genesis der komplexen Zahlen.- 1. Cardano (1501-1576).- 2. Bombelli (1526-1572).- 3. Descartes (1596-1650), Newton (1643-1727) und Leibniz (1646-1716).- 4. Euler (1707-1783).- 5. Wessel (1745-1818) und Argand (1768-1822).- 6. Gauss (1777-1855).- 7. Cauchy (1789-1857).- 8. Hamilton (1805-1865).- 9. Ausblick.- § 2. Der Körper ?.- 1. Definition durch reelle Zahlenpaare.- 2. Die imaginäre Einheiti.- 3. Geometrische Darstellung.- 4. Nichtanordbarkeit des Körpers ?.- 5. Darstellung durch reelle 2×2 Matrizen.- § 3. Algebraische Eigenschaften des Körpers ?.- 1. Die Konjugierung ? ? ?, z ? z?.- 2. Körperautomorphismen von ?.- 3. Das natürliche Skalarprodukt Re(wz?) und die euklidische Länge |z|.- 4. Produktregel und "Zwei-Quadrate-Satz".- 5. Quadratische Gleichungen.- § 4. Geometrische Eigenschaften des Körpers ?.- 1. Die Identität 2 + 2 = |w|2|z|2.- 2. Cosinussatz und Dreiecksungleichung.- 3. Zahlen auf Geraden und Kreisen. Doppelverhältnis.- 4. Sehnenvierecke und Doppelverhältnis.- 5. Satz von Ptolemäus.- 6. Simsonsche Gerade.- § 5. Die Gruppen O(?) und SO(2).- 1. Abstandstreue Abbildungen von ?.- 2. Die Gruppe O(?).- 3. Die Gruppe SO(2) und der Isomorphismus S1?SO(2).- 4. Rationale Parametrisierung eigentlich orthogonaler 2×2 Matrizen.- § 6. Polarkoordinaten und n-te Wurzeln.- 1. Polarkoordinaten.- 2. Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten.- 3. Moivresche Formel.- 4. Einheitswurzeln.- 4. Fundamentalsatz der Algebra.- § 1. Zur Geschichte des Fundamentalsatzes.- 1. Girard (1595-1632) und Descartes (1596-1650).- 2. Leibniz (1646-1716).- 3. Euler (1707-1783).- 4. d'Alembert (1717-1783).- 5. Lagrange (1736-1813) und Laplace (1749-1827).- 6. Die Kritik durch Gauss.- 7. Die vier Beweise von Gauss.- 8. Argand (1768-1822) und Cauchy (1789-1857).- 9. Fundamentalsatz der Algebra: einst und jetzt.- 10. Kurzbiographie von Carl Friedrich Gauss.- § 2. Beweis des Fundamentalsatzes nach Argand.- 1. Der Cauchysche 0 für 0 < y < ? und die Gleichung ei?/2 = i.- 6. Der Polarkoordinatenepimorphismus p: ??S1.- 7. Die Zahl ? und Umfang und Inhalt eines Kreises.- § 4. Klassische Formeln für ?.- 1. Die Leibnizsche Reihe für ?.- 2. Das Vietasche Produkt für ?.- 3. Das Eulersche Sinusprodukt und das Wallissche Produkt für ?.- 4. Die Eulerschen Reihen für ?2, ?4.- 5. Die Weierstrasssche Definition von ?.- 6. Irrationalität von ? und Kettenbruchentwicklung.- 7. Transzendenz von ?.- B. Reelle Divisionsalgebren.- Repertorium. Grundbegriffe aus der Theorie der Algebren.- 1. Reelle Algebren.- 2. Beispiele reeller Algebren.- 3. Unteralgebren und Algebra-Homomorphismen.- 4. Bestimmung aller eindimensionalen Algebren.- 5. Divisionsalgebren.- 6. Konstruktion von Algebren mittels Basen.- 6. Hamiltonsche Quaternionen.- § 1. Die Quaternionenalgebra ?.- 1. Die Algebra ? der Quaternionen.- 2. Die Matrixalgebra ? und der Isomorphismus F: ? ? ?.- 3. Der Imaginärraum von ?.- 4. Quaternionenprodukt, Vektorprodukt und Skalarprodukt.- 5. Zur Nichtkommutativität von ?. Zentrum.- 6. Die Endomorphismen des ?-Vektorraumes ?.- 7. Quater-nionenmultiplikation und Vektoranalysis.- § 2. Die Algebra ? als euklidischer Vektorraum.- 1. Konjugierung und Linearform Re.- 2. Eigenschaften des Skalarproduktes.- 3. Der "Vier-Quadrate-Satz".- 4. Konjugierungs- und Längentreue von Automorphismen.- 5. Die Gruppe S3 der Quaternionen der Länge 1.- 6. Die spezielle unitäre Gruppe SU(2) und der Isomorphismus S3 ? SU(2).- § 3. Die orthogonalen Gruppen O(3), O(4) und Quaternionen.- 1. Orthogonale Gruppen.- 2. Die Gruppe O(?). Satz von Cayley.- 3. Die Gruppe O(Im?). Satz von Hamilton.- 4. Die Epimorphismen S3 ? SO(3) und S3 × S3 ? SO(4).- 5. Drehachse und Drehwinkel.- 6. Eulersche Parameterdarstellung der SO(3).- 7. Isomorphiesätze von Frobenius und Hopf.- § 1. Hamiltonsche Tripel in alternativen Algebren.- 1. Die rein-imaginären Elemente einer Algebra.- 2. Hamiltonsche Tripel.- 3. Existenz Hamiltonscher Tripel in alternativen Algebren.- 4. Alternative Algebren.- § 2. Satz von Frobenius.- 1. Lemma von Frobenius.- 2. Beispiele quadratischer Algebren.- 3. Quaternionen-Lemma.- 4. Satz von Frobenius (1877).- § 3. Satz von Hopf.- 1. Topologische Redeweisen für reelle Algebren.- 2. Die Quadratabbildung A ? A, x ? x2.- 3. Satz von Hopf.- 4. Der ursprüngliche Hopfsche Beweis.- 5. Beschreibung aller 2-dimensionalen Algebren mit Einselement.- 8. Cayley-Zahlen oder alternative Divisionsalgebren.- § 1. Alternative quadratische Algebren.- 1. Die Bilinearform.- 2. Satz über die Bilinearform.- 3. Satz über die Konjugie-rungsabbildung.- 4. Der euklidische Vektorraum 𝒜 und die orthogonale Gruppe O(𝒜).- § 2. Existenz und Eigenschaften der Cayley-Algebra O.- 1. Konstruktion der quadratischen Algebra O der Oktaven.- 2. Imaginärraum, Linearform, Bilinearform und Konjugierung von O.- 3. O als alternative Divisionsalgebra.- 4. "Acht-Quadrate-Satz".- 5. Die Gleichung O = ? ??p.- 6. Multiplikationstafel für O.- § 3. Einzigkeit der Cayley-Algebra.- 1. Verdopplungssatz.- 2. Anwendung des Verdopplungssatzes.- 3. Einzigkeit der Cayley-Algebra (Zorn 1933).- 4. Beschreibung von O durch Zornsche Vektormatrizen.- 9. Kompositionsalgebren. Satz von Hurwitz.- § 1. Kompositionsalgebren.- 1. Historisches zur Kompositionstheorie.- 2. Beispiele.- 3. Kompositionsalgebren mit Einselement.- 4. Struktursatz für endlich-dimensionale Kompositionsalgebren mit Einselement.- § 2. Mutation von Kompositionsalgebren.- 1. Mutationen von Algebren.- 2. Mutationssatz für endlich-dimensionale Kompositionsalgebren.- 3. Satz von Hurwitz (1898).- 10. Divisionsalgebren und Topologie.- § 1. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist eine Potenz von 2 190.- 1. Ungerade Abbildungen und der Satz von Hopf.- 2. Homologie und Kohomo-logie mit Koeffizienten in F2.- 3. Beweis des Satzes von Hopf.- 4. Historische Bemerkungen zur Homologie- und Kohomologietheorie.- 5. Charakteristische Homologieklassen nach Stiefel.- § 2. Die Dimension einer Divisionsalgebra ist gleich 1, 2, 4 oder 8.- 1. Die mod 2-Invariante ?(f).- 2. Parallelisierbarkeit der Sphären und Divisionsalgebren.- 3. Vektorraumbündel.- 4. Charakteristische Kohomologieklassen nach Whitney.- 5. Der Ring der Vektorraumbündel.- 6. Die Bottsche Periodizität.- 7. Charakteristische Klassen von direkten Summen und Tensorprodukten.- 8. Schluß des Beweises.- 9. Historische Anmerkungen.- § 3. Ergänzungen.- 1. Definition der Hopfschen Invarianten.- 2. Die Hopfsche Konstruktion.- 3. Der Satz von Adams über die Hopfsche Invariante.- 4. Zusammenfassung.- 5. Der Satz von Adams über Vektorfelder auf Sphären.- Literatur.- C. Ausblicke.- 11 Non-Standard Analysis.- § 1. Einführung.- § 2. Der Non-Standard Zahlbereich *?.- 1. Konstruktion von *?.- 2. Eigenschaften von *?.- § 3. Gemeinsamkeiten von ? und *?.- § 4. Differential- und Integralrechnung.- 1. Differentiation.- 2. Integration.- Epilog.- Literatur.- 12. Zahlen und Spiele.- § 1. Einleitung.- 1. Der traditionelle Aufbau der reellen Zahlen.- 2. Die Conwaysche Methode,.- 3. Übersicht.- § 2. Conwayspiele.- 1. Diskussion der Dedekindschen Postulate.- 2. Conways Modifikation der Dedekindschen Postulate.- 3. Conwayspiele.- § 3. Spiele.- 1. Der Spielbegriff.- 2. Beispiele für Spiele.- 3. Ein Induktionsprinzip für Spiele.- § 4. Zur Theorie der Spiele.- 1. Gewinnstrategien.- 2. Positive und negative Spiele.- 3. Eine Einteilung der Spiele. Gleichwertigkeit von Spielen.- § 5. Eine halbgeordnete Gruppe äquivalenter Spiele.- 1. Das Negative eines Spiels.- 2. Die Summe zweier Spiele.- 3. Isomorphe Spiele.- 4. Eine Halbordnung der Spiele.- 5. Gleichheit von Spielen.- § 6. Spiele und Conwayspiele.- 1. Die grundlegenden Abbildungen.- 2. Übertragung der für Spiele definierten Relationen und Operationen auf Conwayspiele.- 3. Beispiele.- § 7. Conwayzahlen.- 1. Die Conwayschen Postulate (C1) und (C2).- 2. Elementare Eigenschaften der Ordnung.- 3. Beispiele.- § 8. Der Körper der Conwayzahlen.- 1. Die Rechenoperationen für Zahlen.- 2. Beispiele.- 3. Eigenschaften des Körpers der Zahlen.- Literatur.- 13. Mengenlehre und Mathematik.- § 1. Mengen und die Objekte der Mathematik.- 1. Urelemente und höhere Objekte.- 2. Mengentheoretische Definition höherer Objekte.- 3. Urelemente als Mengen.- § 2. Axiomensysteme der Mengenlehre.- 1. Die Russellsche Antinomie.- 2. Zermelosche und Zermelo-Fraenkelsche Mengenlehre.- 3. Einige Folgerungen.- 4. Mengenlehre mit Klassen.- § 3. Einige metamathematische Aspekte.- 1. Die von Neumannsche Hierarchie.- 2. Das Auswahlaxiom.- 3. Unabhängigkeitsbeweise.- Epilog.- Literatur.- Namenverzeichnis.- Porträts berühmter Mathematiker.